mookmath 님의 블로그

1의 거듭제곱근과 단위원의 관계

mookmath — Sun, 17 Nov 2024 10:29:45 +0900

안녕하세요.

최근 컨텐츠에 대한 고민을 꽤 하다가 고등학생도 이해할 수 있는 컨텐츠를 만들면 어떨까 생각했습니다.

즉 특정 주제에 대해 바닥부터 쌓아 올라가는 논리를 전개하도록 하겠습니다.

오늘은 1의 거듭제곱근과 단위원의 관계에 대해 알아보겠습니다.

주의: 단위근과 1의 거듭제곱근을 혼동하시면 안됩니다.

1의 거듭제곱근의 정의는 다음과 같습니다.

$$x^n = 1$$

실수인 x에 대해서는 n이 짝수일 때 1과 -1, 홀수일 때 1이겠지만, 우리는 복소수 체계로 확장하고 싶습니다.

이제 근을 z로 두겠습니다.

$$ \begin{align*} z^{1} - 1 &= z - 1 \\ z^{2} - 1 &= (z - 1)(z + 1) \\ z^{3} - 1 &= (z - 1)(z^{2} + z + 1) \\ z^{4} - 1 &= (z - 1)(z + 1)(z^{2} + 1) \\ z^{5} - 1 &= (z - 1)(z^{4} + z^{3} + z^{2} + z + 1) \\ z^{6} - 1 &= (z - 1)(z + 1)(z^{2} + z + 1)(z^{2} - z + 1) \end{align*}$$

인수분해를 활용하여 위와 같은 식을 세운 뒤 실제 z값을 알아볼 수 있습니다.

이제 복소평면에 대해서 정의하겠습니다.

복소평면은 x축이 실수축으로, y축이 허수축으로 정의된 좌표계입니다.

예를 들어 a+bi라면, 좌표 상에서 (a,b)에 나타나게 됩니다. 아주 간단하죠?

이제 이 복소 평면 상에 근의 위치들을 표시하겠습니다.

n = 1일 때,

n = 2일 때,

n = 3일때,

n = 4일 때,

n = 5일 때,

n = 6일 때,

뭔가 규칙성이 있는 것 같습니다.

늘 (1,0)을 한 꼭짓점으로 하고, 원점을 중심으로 하는 정n각형을 형성합니다.

이는, 점들이 모두 단위원 위에 있다는 것을 의미합니다.

이에 더해, 단위원 위의 점들 중 (1,0)에서 출발해 반시계 방향으로 등각으로 회전해 결국 (1,0)으로 돌아오는 형태입니다.

수학적으로 표현하면,

$$z=a+bi \quad \text{where} \; a = cos(\frac{2\pi k}{n}), \;b = sin( \frac{2\pi k}{n}),\; k \in \mathbb Z$$

입니다.

첫 째로, 단위원 위에 근들이 위치한다는 것을 먼저 증명하겠습니다.

$$ z^n = \overline{z^n} = 1 $$
$$ \overline{z^n} = \overline{z}^n $$
$$ \text{Therefore, } (a + bi)^n = 1, \quad (a - bi)^n = 1 $$
$$ \text{Also, } (a^2 + b^2)^n = 1 \quad \text{so } a^2 + b^2 = 1 $$

둘 째로, 같은 각으로 회전하는 것을 증명하겠습니다.

삼각함수와 연결짓고 싶기 때문에, 다음과 같이 설정할 수 있습니다.

$$ a = cos\theta, \quad b = sin\theta$$

$$z^n = (cos\theta+isin\theta)^n=1$$

이항 공식을 이용하여 $z^n$을 전개한다면 너무 복잡합니다.

n = 1부터 대입하며 규칙성을 알아보겠습니다.

n = 1일 때, $ cos\theta+isin\theta $입니다.

n = 2일 때,

$$(\cos\theta + i\sin\theta)^2$$

$$=\cos^2\theta - \sin^2\theta + i(2\cos\theta\sin\theta)$$

$$\cos^2\theta - \sin^2\theta = \cos(2\theta), \quad 2\cos\theta\sin\theta = \sin(2\theta)$$

$$(\cos\theta + i\sin\theta)^2 = \cos(2\theta) + i\sin(2\theta).$$

n = 3일 때는 생략하겠지만 $(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos(3\theta) + i\sin(3\theta).$이 나옵니다.

$$ (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) $$

위와 같은 관계가 예상되니 수학적 귀납법을 이용해보겠습니다.

$$ (\cos x + i \sin x)^1 = \cos x + i \sin x. $$
$$ \text{Now, assume the statement holds for } n = k: $$
$$ (\cos x + i \sin x)^k = \cos(kx) + i \sin(kx). $$
$$ \text{We need to prove it holds for } n = k + 1. $$
$$ (\cos x + i \sin x)^{k+1} = (\cos x + i \sin x)^k (\cos x + i \sin x). $$
$$ (\cos x + i \sin x)^{k+1} = (\cos(kx) + i \sin(kx))(\cos x + i \sin x). $$
$$ (\cos x + i \sin x)^{k+1} = \cos(kx)\cos x - \sin(kx)\sin x + i (\cos(kx)\sin x + \sin(kx)\cos x). $$
$$ \cos(kx + x) = \cos(kx)\cos x - \sin(kx)\sin x, \quad \sin(kx + x) = \sin(kx)\cos x + \cos(kx)\sin x. $$
$$ (\cos x + i \sin x)^{k+1} = \cos((k+1)x) + i \sin((k+1)x). $$
$$ \text{Thus, the equation is true for } n = k + 1. $$
$$ \text{By mathematical induction, the formula holds for all integers } n \geq 1. $$

이제 그러면 우리의 문제는 다음과 같이 간단해졌습니다.

$$cosn\theta + isinn\theta = 1$$

$$cosn\theta = 1, \quad sinn\theta = 0$$

두 조건을 모두 만족시키는 $\theta$를 구하면,

$$\theta = \frac{2 \pi k}{n} \quad k \in \mathbb Z$$

이것으로 증명이 끝났습니다.

이제 n을 더욱 키울수록 점들이 원에 가까워진다는 것을 알 수 있습니다.

다음 포스팅에서는 성질에 대해서 더 알아보겠습니다.
감사합니다.

2021 수능 가형 20번에 대한 고찰

mookmath — Sun, 13 Oct 2024 15:15:53 +0900

21 수능 가형 20번 문제 (출처: 한국교육과정평가원)

시중에 그래프를 이용한 풀이는 많이 있기 때문에 저는 오로지 교과서에 나오는 개념만을 이용해 식으로 풀어내는 풀이가 궁금해졌습니다. 따라서 그래프를 완벽히 배제하고 식으로만 풀어보도록 하겠습니다.

다소 괴랄한 문제로 논란이 많았던 문제인데요, 개념만 알고 있어도 풀 수는 있는 문제라는 것을 보여드리겠습니다.
실용적인 풀이는 아니라는 것 유념해주시고, 재미로만 봐주세요!

\[
f(x) = \pi \sin(2 \pi x)
\]

이 주어져 있습니다.

\[
g(x) = I(x \in S) =
\begin{cases}
1 & \text{if } x \in S, \\
0 & \text{if } x \in S^c
\end{cases}
\quad \text{for some set S}
\]

g(x)를 이렇게 정의하면 더 알아보기 쉽겠죠?

\[
S \subset \mathbb{R}, \quad S^c = \mathbb{R} \setminus S, \quad S \cup S^c = \mathbb{R}, \quad n \in \mathbb{N}
\]

g가 실수 전체에서 정의된다는 것을 확인할 수 있습니다.
S는 g가 1이 되는 정의역 집합이고, S의 여집합은 g가 0이 되는 정의역 집합입니다.

\[
h(x) = \pi \sin(2 n \pi x) \cdot I(x \in S)
\]

그러면 h(x)는 이와 같이 정의 됩니다.

h(x)가 연속이 되려면, 연속의 정의를 이용해서 다음을 보일 수 있습니다.

k가 S집합과 S의 여집합 사이의 경계 원소라고 한다면,

\[
k = \frac{m}{2n}, \quad m \in \mathbb{Z}
\]

S 안에는 여러 구간이 존재할 수 있으므로, S를 새롭게 정의해보겠습니다.
\[
S = \{ S_1, S_2, S_3, \dots \}, \quad |S| = n(S)
\]
\[
S_i = \left\{ x \, \middle| \, \frac{m_i}{2n} < x < \frac{m_i + 1}{2n} \right\}, \quad i = 1, \dots, |S|
\]
Si는 위와 같은 조건을 만족해야합니다. 가능한 모든 케이스를 표현하기 위해 각 Si를 최소 구간으로 잡았습니다.

\[
\int_{-1}^1 h(x) \, dx = \int_{-1}^1 \pi \sin(2 n\pi x) I(x \in S_i) \, dx = \int_{S_i \cap [-1,1]} \pi \sin(2n \pi x) \, dx = 2
\]

조건에 h(x)값을 우리가 구한 것으로 대입해주면 위와 같습니다.

\[
A = S \cap [-1,1]
\]

A를 새롭게 정의해보겠습니다.

\[
-1 \leq \frac{m_i}{2n} < x < \frac{m_i + 1}{2n} \leq 1
\quad \Rightarrow \quad
m_i \geq -2n \quad \& \quad m_i \leq 2n - 1
\quad \therefore \quad
-2n \leq m_i \leq 2n - 1 \quad \text{for all } i
\]

A 집합 안에 있는 m은 위의 조건을 만족해야합니다.

문제에 있는 xh(x) 조건에 이제 대입해보겠습니다.

\[
\int_{-1}^{1} x h(x) \, dx = \int_{S_i \cap [-1,1]} \pi x \sin(2n\pi x) \, dx
\]

\[
= - \frac{\pi x}{2n\pi} \cos(2n\pi x) \Bigg|_{S_i \cap [-1,1]}
+ \int_{S_i \cap [-1,1]} \frac{\pi}{2n\pi} \cos(2n\pi x) \, dx
\]

\[
= \sum_{i=1}^{|A|} \left( -\frac{1}{2n} \right)
\left( \frac{m_i + 1}{2n} \cos(2n\pi \cdot \frac{m_i + 1}{2n})
- \frac{m_i}{2n} \cos(2n\pi \cdot \frac{m_i}{2n}) \right) + 0
\]

cos의 대칭성 때문에 적분값이 0이 됩니다.
또한, A의 부분집합 중에서 부분집합의 하한이 짝수/2n인 경우와, 홀수/2n인 경우로 나눠보겠습니다.

\[
E = \left\{ i \,\middle|\, |m_i| \equiv 0 \pmod{2} \right\} , \quad
O = \left\{ i \,\middle|\, |m_i| \equiv 1 \pmod{2} \right\}
\]

\[
= -\frac{1}{2n} \left[
\sum_{i \in E} \left( \frac{m_i + 1}{2n} (-1) - \frac{m_i}{2n} \right)
+ \sum_{i \in O} \left( \frac{m_i + 1}{2n} (1) + \frac{m_i}{2n} \right)
\right]
\]

\[
= -\frac{1}{4n^2} \left[
\sum_{i \in E} \left( -m_i - 1 - m_i \right)
+ \sum_{i \in O} \left( m_i + 1 + m_i \right)
\right]
\]

\[
= -\frac{1}{4n^2} \left[
\sum_{i \in E} (-2m_i)
+ \sum_{i \in O} (2m_i) - |E| + |O|
\right] = -\frac{1}{32}
\]

\[
\therefore \left[
\sum_{i \in E} (-2m_i)
+ \sum_{i \in O} (2m_i) - |E| + |O|
\right] = \frac{n^2}{8}
\]

이제 식이 잘 정리됐습니다.
h(x)관련 조건도 E와 O에 대해 정리해보겠습니다.

\[
\int_{S_i \cap [-1,1]} \pi \sin(2n \pi x) \, dx
\]

\[
= \frac{1}{n} |E| - \frac{1}{n} |O| = 2
\]

구간마다 적분값이 1/n, -1/n으로 달라지기 때문에 위와 같이 표현됩니다.
적분값이 1/n인 이유는 간단합니다.

\[
\int_0^{\frac{1}{2n}} \pi \sin(2n\pi x) \, dx
\]

\[
= \frac{-\pi}{2n\pi} \cos(2n\pi x) \Bigg|_0^{\frac{1}{2n}}
\]

\[
= \frac{-1}{2n} \left( -1 - 1 \right) = \frac{1}{n}
\]

E의 대표적인 케이스인 [0,1/2n]에서 적분해보았고,
모든 E에 해당하는 구간은 1/n의 적분값을 갖습니다.

O는 적분값이 부호만 반대가 되겠죠.

\[
\left[
\sum_{i \in E} (-2m_i) + \sum_{i \in O} (2m_i) - |E| + |O|
\right] = \frac{n^2}{8}
\]

\[
|E| - |O| = 2n
\]

이제 이 두 식을 연립하기만 하면 됩니다.

\[
\sum_{i \in E} (-2m_i) + \sum_{i \in O} (2m_i) - 2n = \frac{n^2}{8}
\]

\[
\sum_{i \in E} (-m_i) + \sum_{i \in O} (m_i) = \frac{n^2}{16} + n = \frac{n^2 + 16n}{16} \in \mathbb{Z}
\]

그럼 위와 같은 식이 됩니다.

\[
\therefore \frac{n(n+16)}{16} \in \mathbb{Z}
\quad \& \quad |E| - |O| = 2n \quad \&
\]

\[
\sum_{i \in E} (-m_i) + \sum_{i \in O} (m_i) = \frac{n^2 + 16n}{16}
\quad \& \quad -2n \leq m_i \leq 2n - 1
\]

정리하면 이 4개의 조건을 만족하는 n이 답입니다.

이 식은 아름답고, 쉽게 정리되는데요.
우선 첫번째 정수조건을 만족하기 위해서는 n이 4의 배수가 될 수 밖에 없습니다.
이건 귀납적으로 증명하셔도 되고, 귀류법으로 증명하셔도 됩니다.

두번째 조건과 네번째 조건이 결합되면 아주 기분 좋은 형태가 되는데요,
잘 생각해보면 -2n과 2n-1 사이에 E조건을 만족하는 m, 즉 +짝수, 0, -짝수의 개수는 최대 2n개 존재할 수 있습니다.
그런데, O집합의 크기는 항상 0이상이기 때문에, E집합의 크기와 O집합의 크기의 차가 2n을 만족하려면,
반드시 E집합 크기가 2n이고, O집합 크기가 0이어야 합니다.

그러면,
\[
\sum_{i \in E} (-m_i) + \sum_{i \in O} (m_i) = \sum_{i \in E} (-m_i)
\]
입니다.

결국 -2n부터 2n-2까지를 더하는 것이므로 남는 것은 -2n입니다.

부호가 (-)이므로 sum의 결과는 2n이죠.

결론은,
\[
2n = \frac{n(n+16)}{16} \quad (n \equiv 0 \pmod{4})
\]

\[
32n = n^2 + 16n
\]

\[
n^2 - 16n = 0 \quad \therefore n = 0 \text{ or } 16
\]
이므로, 답은 16이며 수능 문제의 중요한 관건인 유일성도 만족됐습니다.